Integrales de Coulomb: Integrales bielectrónicas
La integral de Coulomb da cuenta de la energía de repulsión entre dos electrones de un átomo polielectrónico.Esta integral es compleja de resolver, si bien tiene solución analítica. Se va a analizar su solución para dos electrones situados en orbitales 1s.
La integral de Coulomb
tiene la forma
Un método para resolver esta integral consiste en referir la posición de la segunda partícula con respecto a la primera, definiendo un nuevo sistema de coordenadas (x', y', z'), centrado en la posición de la primera partícula (ver Figura, lineas verdes). En este sistema de coordenadas la dirección del eje z', se elige de forma que coincide en todo momento con la r1. Las coordenadas esféricas de la segunda partícula serán por lo tanto r12, w (ángulo con z') y r (ángulo de la proyección de r12 sobre el plano x'-y' con el eje x'). Por lo tanto el elemento de volumen será
De todas las coordenadas definidas, el sistema debe expresarse en función de 6 cualesquiera. Así, interesa seguir usando r2 y eliminar w . Trigonométricamente se sabe
luego, como supondremos a r1 y a r12 como variables independientes y a r2 y w como variables dependientes, diferenciando
luego
Las tres últimas integrales son inmediatas, por lo que
Estas integrales pueden dividirse en dos de igual valor. En un caso r2 $ r1, y en el otro caso r1 $ r2.Luego podemos multiplicar por 2 y quedarnos con el caso r2 $ r1.
Notese que el límite inferior de la segunda integral es ahora r1, ya que por definición r2 $ r1. La última integral es inmediata y vale (r1+r2) - (r2-r1) = 2r1, luego
La solución de la segúnda integral es
Por lo tanto, substituyendo:
Por lo tanto
