Breve introducción a los atractores caóticos
Antonio M. Díaz Soriano
Era un dia como otro cualquiera de 1963, Edward N. Lorenz se encotraba en su despacho del MIT estudiando un modelo atmosférico mediante el cual pretendía comprender por qué los patrones climatológicos, que siguen pautas razonablemente periódicas, nunca se repiten exactamente. El modelo en cuestión se trataba de un cálculo numérico de un sistema dinámico de tres ecuaciones no lineales que simulan el fenómeno de la convección en la atmósfera; por aquel entonces la velocidad de los ordenadores era muy baja, por lo que, tras introducir unas condiciones iniciales que ya había usado con anterioridad, Lorenz salió de su despacho en busca de una taza de café. Al regresar se sorprendió de que los resultados fueran totalmente diferentes de los obtenidos en la ocasión anterior; al principio pensó que se trataba de un fallo del ordenador, pero después se dió cuenta de que los valores iniciales que había introducido en el ordenador no eran exactamente iguales que los usados con anterioridad, mientras que los primeros constaban de seis dígitos, los de ahora estaban redondeados a tres dígitos.
Unos meses después de este suceso, aparecía un artículo firmado por Lorenz en el que se introducian los conceptos de atractor caótico y efecto mariposa. Un atractor es el conjunto de puntos hacia los cuales tiende un sistema dinámico tras un número elevado -infinito sería el ideal- de iteraciones, el apellido caótico le viene por su gran sensibilidad a variaciones en las condiciones iniciales y a que los valores obtenidos nunca se repiten exactamente. El efecto mariposa es una metáfora de la dependencia de las condiciones iniciales, de manera que una perturbación tan pequeña como el batir de unas alas de mariposa en Brazil puede producir un tornado en Texas.
Atractor de Lorenz.
Como primer ejemplo de atractor caótico usaremos el ya mencionado atractor de Lorenz. Para este tenemos que generar un sistema dinámico a partir de las ecuaciones diferenciales y dar unos valores para los parámetros y las condiciones iniciales.
El sistema de ecuaciones es:
Las condiciones iniciales y los parámetros son:
Número de iteraciones--->
Incremento temporal--->
Ahora planteamos el sistema dinámico a partir de las ecuaciones diferenciales:
Como vemos, obtenemos una curva paramétrica en tres dimensiones. Ahora representaremos el corte con el plano XZ y la ampliación de una zona de la gráfica.
En la gráfica de la izquierda se observa con claridad los dos atractores hacia los que tiende el sistema. Si cambiamos las condiciones iniciales, los valores numéricos serán totalmente diferentes, pero tras un número lo suficientemente grande de iteraciones el aspecto de las gráficas será el mismo. Es esta una importante propiedad de los atractores, otra es la que pone de manifiesto la gráfica de la derecha, en ella podemos ver como, por mucho que nos acerquemos a cualquier zona de la curva, las trayectorias no se cruzan, o lo que es lo mismo, el sistema no tiene ningún tipo de periodicidad, de ahí que los patrones meteorológicos no se repitan nunca con exactitud.
Atractor de Hénon.
A los cinco años de la publicación del trabajo de Lorenz, Michel Hénon descubría en el Instituto de Astrofísica de Paris un sistema dinámico de gran sencillez mediante el cual se podían explicar las pequeñas oscilaciones que hacen que ciertos cuerpos celestes se desvien levemente de su órbita elíptica.
El sistema consta de dos ecuaciones, una de ellas cuadrática, y dos constantes:
Vamos a representar los resultados:
Si viésemos como se va generando la gráfica punto a punto, al principio no distinguiríamos mas que una nube caótica de puntos en apariencia inconexos, sin embargo, a medida que el número de iteraciones aumenta, la curva comienza a compactarse para configurar el atractor, del cual es imposible saber si dos puntos consecutivos estarán cerca o lejos.
Al igual que el atractor de Lorenz, los valores numéricos obtenidos dependen de las condiciones iniciales, no así la curva final, la cual adquiere siempre el mismo aspecto después de las suficientes iteraciones. Una propiedad particular del atractor de Hénon es que al acercarnos a cualquier parte de la gráfica, lo que en principio parecian lineas individuales, se subdividen en pares de lineas, y así sucesivamente.
Otros atractores.
Los atractores aparecen en numerosas ramas de la ciencia, sin embargo, al igual que ocurre con los fractales, hay un gran número de sistemas que se han desarrollado con caracter meramente estético. Uno de ellos es el creado por Clifford A. Pickover en el centro de investigación Thomas J. Watson de IBM.
El planteamiento del sistema es como sigue:
La representación del atractor de Pickover suele hacerse en color, actuando de esta manera se comprende que este sistema se conozca con el sobrenombre palomitas fractales. Nosotros, sin embargo, nos limitaremos a una representación monocroma:
Por último, vamos a representar un sistema de caracter caótico solamente en algunas regiones del plano. No entraremos a analizar este sistema con más detalle, tan sólo mencionar que las zonas estables se encuentran en los hexágonos.
