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1. NÚMEROS

La construcción de la noción de número y de las operaciones que pueden realizarse con ellos, han sido, sin duda, formalizaciones matemáticas de extraordinaria importancia para la humanidad. Sin embargo, el valor que se le otorga a estos conocimientos en el currículum de matemáticas para la Educación Primaria, no sólo viene dado por razones históricas o tradicionales, sino por su relevante significado matemático y por su contribución al desarrollo de la capacidad cognitiva de los alumnos.

Como conocimientos matemáticos, los números y las operaciones numéricas son elementales, por cuanto sirven de “elementos” básicos para posteriores conocimientos. Son también instrumentos importantes que pueden permitir y facilitar el acceso a conocimientos pertenecientes a otras áreas del saber. Por otra parte, responden a necesidades e intereses de los niños de estas edades, para los que tienen también un valor funcional.

La cuantificación como sistema para estimar cantidades. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.

La noción de número, cuya construcción se abordará a lo largo de toda la etapa, se iniciará al comienzo de la misma. Los alumnos emplearán diversas estrategias para estimar cantidades; al principio lo harán de forma aproximada, utilizando cuantificadores poco precisos: muchos, pocos, alguno... Posteriormente irán prescindiendo de la apariencia cualitativa de las cantidades, considerando los elementos uno a uno y en su totalidad.

La cuantificación será considerada como una de las nociones básicas, dado que aporta un modo de acercarse a la realidad, para conocer su dimensión con exactitud, tanto si se trata de realidades continuas, dando lugar a nociones como magnitud y medida, como de realidades discontinuas, generando las nociones de número y unidad.

Mediante la cuantificación, los alumnos establecerán relaciones de igualdad y desigualdad entre las cantidades, descubriendo su posible ordenación. El número se tratará también como expresión de orden, como elemento que permite establecer relaciones de serie.

A lo largo de la etapa se favorecerá la exploración, manipulación y realización de operaciones con elementos reales, comparando unas colecciones con otras, estableciendo, mediante diferentes estrategias, relaciones de equivalencia y no equivalencia, de igualdad y desigualdad.

La elaboración y utilización de símbolos y códigos personales o de grupo, para representar objetos, cantidades o relaciones, favorecerá la comprensión de la convencionalidad y arbitrariedad de los signos matemáticos. La consideración de estos contenidos resulta útil como paso previo al uso de las convenciones.

El conteo, como estrategia de cuantificación se empleará en toda la etapa, complejizándose sucesivamente con la aplicación de diferentes rangos y criterios. Se procederá desde el conocimiento de los nombres de los números, hasta el descubrimiento y utilización de los principios que rigen este procedimiento: orden estable, correspondencia biumvoca, unicidad, abstracción, valor cardinal, irrelevancia del orden...

Por aproximaciones sucesivas se irán acercando los alumnos a la comprensión de la propiedad inclusiva de los números, haciendo cada vez más significativo su valor cardinal.

Comparación de números. Igualdad y desigualdad numérica.

La noción de ecuación numérica será trabajada a lo largo de toda la etapa. Se comenzará de forma intuitiva, poniendo en relación aquellas colecciones que resultan equivalentes al hacer corresponder término a término sus elementos.

Posteriormente, se insistirá en la utilización y conceptualización del signo = como elemento relacional, que se aplica entre números y expresiones del mismo valor.

Más tarde se probará y verificará el comportamiento de los términos de la ecuación cuando sufren transformaciones, constatando algunas de sus propiedades. Al mismo tiempo, se irá descubriendo cómo utilizar las ecuaciones numéricas en la resolución de problemas.

El número natural como expresión de cantidad y de orden. Aplicaciones y funciones.

El concepto de unidad como elemento matemático que surge de la igualación de las diferencias, al ordenar sistemáticamente cantidades, es un proceso que conviene trabajar a diferentes niveles.

Tras un conocimiento intuitivo, ligado a la acción concreta de añadir uno y configurar la serie numérica, la relativización de la unidad, facilitará la comprensión de las diferentes unidades y órdenes del sistema numérico y la asimilación progresiva de los números fraccionarios y decimales.

Durante toda la etapa se fomentará en los alumnos la curiosidad por indagar y explorar las regularidades y relaciones que aparecen en el conjunto numérico. Asimismo se programarán actividades tendentes a la detección y verificación de algunas propiedades: transitividad, asociatividad, conmutatividad, etc.

A medida que se avanza en la comprensión del sistema numérico, se abordará el número natural como elemento estructural del mismo. Se trabajará, por tanto, la composición y descomposición, de los números, sus aplicaciones y sus funciones.

Simultáneamente a la construcción de los contenidos conceptuales, los alumnos deberán conocer y retener aquellas informaciones y datos convencionales, propios de estos conocimientos. En consecuencia, aprenderán los nombres y guarismos de los números, los signos “=”, “=/ ” (desigual) , “>” y “<” y las notaciones convencionales de números fraccionarios y decimales.

Se concederá la máxima atención a la contextualización de estos conocimientos, potenciando la sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica, usando los números en actividades cotidianas escolares y extraescolares, aludiendo a su presencia en diferentes soportes y formatos, reflexionando sobre la utilidad de los números y comentando el lugar que ocupan en nuestra cultura.

Elaboración y utilización de estrategias de cálculo.

Especial atención debe merecer el aprendizaje de las combinaciones numéricas básicas. Se comenzará por el reconocimiento de pautas numéricas y digitales, que faciliten la realización de cálculos. Se estimulará la invención y puesta en práctica de procedimientos para calcular, procurando que los alumnos y alumnas reflexionen sobre ellos y justifiquen su uso, al tiempo que generan confianza en sus capacidades para estas realizaciones.

Igualmente, se potenciará el uso adecuado de la calculadora, persiguiendo no sólo el aprendizaje de su manejo, sino la estimación de su utilidad y la discreción en su utilización, en función de la tarea propuesta.

Nociones, funciones y usos de los números fraccionarios y decimales.

La aproximación a las nociones de número fraccionario y decimal y las actividades sobre ellos, requieren competencias cognitivas que los alumnos irán desarrollando al final de la etapa y que deberán continuarse en etapas posteriores. No obstante, su tratamiento debe abordarse desde el primer ciclo, naturalmente, graduando los niveles de dificultad y abstracción.

Se comenzará por trabajar la tracción como expresión de partes iguales que conforman una totalidad. De forma gradual se tratarán las relaciones entre las partes y el todo y el descubrimiento progresivo de sus propiedades.

En relación con el conocimiento y dominio que los alumnos vayan adquiriendo de los números naturales, se abordará la fracción como relación numérica, aproximándose, tras detectar regularidades en las distintas relaciones, a nociones de proporcionalidad: doble, triple, cuádruple, mitad, tercio...

Posteriormente, se tratará la fracción como el resultado de la operación de dividir la unidad en partes iguales y expresar las relaciones entre ellas, permitiendo la comparación y ordenación seriada de los números fraccionarios. Los operadores se trabajarán sobre la base de las relaciones multiplicativas, dotando de significado a las nociones de porcentaje y al uso de los números decimales.

Los números decimales pueden introducirse como casos particulares de fracciones. Se establecerán comparaciones y correspondencias entre fracciones sencillas y sus equivalentes decimales. Gradualmente se trabajará la representación gráfica de estos valores y su ordenación y clasificación, construyendo la serie de estos números de acuerdo con las reglas establecidas.

El porcentaje puede presentarse como “n” partes de 100. Se procurará trabajar estas nociones en contexto, ayudando a los alumnos a elaborar procedimientos de interpretación, cálculo y comparación de tantos por ciento en casos sencillos.

Como contenido relevante que debe acompañar el proceso de aprendizaje numérico, se considera la detección, interpretación y valoración de informaciones numéricas en distintos contextos y con representaciones diversas: guarismos, recta numérica, tablas, gráficas, etc. En este sentido se estimulará la exploración sistemática, la descripción verbal y la interpretación de los elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares.

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Cuando las colecciones de elementos son muy extensas, su estimación, representación y abstracción, se hace más dificil y compleja. Sistematizar la cuantificación, estructurando los números mediante determinadas normas orales y gráficas, ha sido un paso necesario y esencial en el proceso de construcción de los conocimientos matemáticos.

La enseñanza de la numeración como sistema, va más allá de la transmisión de estos conocimientos, informando a los alumnos de las convenciones y leyes que los configuran. Su comprensión ofrece la posibilidad de trabajar diversas nociones matemáticas, ciertamente importantes para la formación de los alumnos de esta etapa educativa. Su aprendizaje, por tanto, debe ser entendido como un proceso largo que exige la ordenación progresiva y el adecuado tratamiento de los contenidos que lleva implícitos. La construcción del sistema de numeración decimal, debe considerarse como contenido transversal, que se trabajará desde el comienzo de la etapa, aunque reviste una especial importancia en los dos últimos ciclos.

Necesidad de los sistemas de numeración. Los agrupamientos de elementos como estrategias comunes a los distintos sistemas.

La agrupación de elementos se considerará como procedimiento cuantificador común a los distintos sistemas de numeración. Simultáneamente los alumnos trabajarán las diversas posibilidades de anotación de los grupos constituidos, y el sistema de ordenación de dichas anotaciones.

Durante toda la etapa, se tratará la aplicación de las nociones antes mencionadas a nuestro sistema decimal, con arreglo a determinadas normas y convenciones. Se abordará entonces la construcción y utilización de las relaciones multiplicativas, nociones éstas básicas para la comprensión de los elementos de diferentes órdenes y las operaciones entre ellos.

Como quiera que estas relaciones se representan en el sistema numérico mediante la posición, el valor posicional requiere un cuidadoso proceso de construcción que durará toda la etapa. dada la complejidad y el grado de abstracción que conlleva.

Deberán proponerse actividades manipulativas de agrupamientos y correspondencias múltiples, seguidas de verbalizaciones y expresiones gráficas de lo hecho. Se propondrán actividades donde los alumnos hayan de coordinar y simultanear elementos que pertenezcan a diferentes clases y puedan ser incluidos unos en otros.

Elaboración y utilización de códigos numéricos. Conocimiento y uso de las notaciones convencionales.

Tras la elaboración y utilización de formas de representación ligadas a elementos reales, se pasará al conocimiento y uso de la notación convencional. Se tendrá en cuenta que la secuencia seguida para la construcción de una unidad del sistema, no es automáticamente aplicada por los alumnos, a las órdenes superiores. De ahí la necesidad de repetir las distintas experiencias y la conveniencia de realizar muchas y variadas actividades concretas, a medida que vayan ampliándose los conocimientos sobre el sistema numérico.

Progresivamente, los alumnos y alumnas entenderán la idea de que los números de varias cifras, además de referirse a determinada cantidad, son expresiones numéricas que codifican relaciones entre las cifras aisladas.

El aprendizaje de la lectura y escritura de los números de varios dígitos, deberá ser secuenciado a lo largo de la etapa. Durante este periodo, se considerará el conocimiento y empleo de los números de hasta seis dígitos y de los fraccionarios y decimales más comunes.

El conocimiento de los elementos, estructura, finalidad y uso de otros sistemas de numeración propios de nuestra cultura: romano, sexagesimal, binario..., debe suscitar curiosidad e interés en los alumnos. Su observación, conocimiento y uso les hará familiarizarse con ellos y apreciar la utilidad de los números en la vida cotidiana.

De igual modo, se fomentará la realización de actividades que impliquen recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares, utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medida.

El sistema decimal como estructura numérica. Detección y análisis de relaciones entre los números.

A medida que los alumnos vayan progresando en el conocimiento de los sistemas de numeración, especialmente en el decimal, se pondrá de manifiesto la dimensión matemática del sistema. De manera intuitiva en los primeros niveles y con un mayor grado de abstracción sucesivamente, se presentarán los números como elementos estructurados, lo que permite realizar con ellos operaciones matemáticas.

En consecuencia, se considerará importante para la comprensión del sistema el aprendizaje de su estructura, los esquemas y pautas que se repiten, los puntos de transición obligada a unidades de orden superior. Consiguientemente, se facilitará la comprensión de las combinaciones sistemáticas de las diez primeras cifras.

En el último ciclo de esta etapa, se trabajará el desarrollo de algunos procedimientos ligados al valor relativo de los números que requieren y procuran, al mismo tiempo, un cierto grado de abstracción. Así, la descomposición múltiple de un número, o el recuento de una cantidad expresada en distintas unidades, además de contribuir a la abstracción del sistema, permiten la construcción de naciones que serán aplicadas, posteriormente a otros conocimientos: cálculos, medidas, realización de algoritmos...

Asimismo se estimulará durante toda la etapa el interés y curiosidad de los alumnos en la realización de actividades de indagación y exploración de regularidades, modelos o patrones que aparecen en el sistema numérico, así como el gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.

3. OPERACIONES

Las operaciones aritméticas son entendidas como la abstracción del proceso mediante el cuál se producen transformaciones numéricas. Además, son también modelos de relaciones y añaden, por tanto, a su valor funcional, la posibilidad de reflexionar, y abstraer de las propias acciones, las leyes que rigen las operaciones lógicas y aplicar esos esquemas a situaciones cada vez más complejas. La noción de operación y la concreción de la misma en las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar y dividir, constituye un núcleo de contenidos que debe informar el trabajo matemático de toda la etapa.

La comprensión de las operaciones va más allá de la constatación empírica de sus resultados. En el proceso de su enseñanza y aprendizaje, se tendrá en cuenta que requiere, además, la capacidad para establecer relaciones causales y temporales entre los diferentes momentos o estados del proceso, así como el conocimiento y análisis de los elementos que lo conforman.

Las operaciones como combinación de acciones de las que resultan transformaciones cuantitativas.

Se propondrá a los alumnos y alumnas de los diferentes ciclos de esta etapa la realización, reflexión y representación de acciones y operaciones. Como consecuencia de estas actividades, descubrirán que las operaciones implican una sucesión temporal de acciones y situaciones diferenciadas, que éstas pueden ser analizadas y que su conjunción da lugar a un resultado previsible.

El componente lógico de las transformaciones y su aplicación numérica, con la introducción de las operaciones aritméticas y sus algoritmos, serán entendidos como dimensiones de un mismo conocimiento, por tanto, deben ser abordados simultánea, progresiva y complementariamente.

Al comienzo de la etapa, se propondrán situaciones de diferenciación entre las transformaciones cualitativas, más fácilmente perceptibles, y las cuantitativas. Posteriormente, se sugerirán actividades de transformación de una cantidad inicial dada, realizando acciones de poner, quitar, dejar... Se tendrá en cuenta que estas situaciones, más que a la obtención de resultados correctos, se dirigirán a concienciar a los alumnos de la lógica de sus acciones.

Representación matemática de situaciones, utilizando diferentes signos y códigos y estableciendo relaciones entre ellos.

Desde el primer ciclo se animará a los alumnos a representar, mediante signos y códigos personales o de grupo, los elementos, acciones y relaciones que intervienen en las operaciones. Gradualmente irán conociendo las representaciones convencionales. Es importante que los alumnos perciban que la representación matemática ofrece la peculiaridad de expresar razonamientos con un vocabulario básico propio y de forma concisa, sin ambigüedades. Se potenciará la utilización con propiedad del vocabulario numérico para referirse a cantidades, ilustrar ideas o describir relaciones, desarrollando la sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica que detecten en su medio.

Las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir. Contextualización y uso funcional de estos conocimientos.

Aunque desde el principio de la etapa se realicen actividades relacionadas con las cuatro operaciones aritméticas, la estructura matemática y las competencias cognitivas de los alumnos aconsejan su introducción secuenciada. La suma y la resta se trabajarán conjuntamente como unión e igualación de cantidades y como incremento o disminución de una cantidad dada. En el transcurso de su aprendizaje los alumnos las irán descubriendo como operaciones inversas, estableciendo las oportunas relaciones entre sus elementos.

El aprendizaje de estas operaciones deberá basarse en procedimientos y estrategias informales de adición y sustracción. Para ello, los alumnos y alumnas se apoyarán en sus conocimientos sobre el sistema numérico: contar, retrocontar, contar a intervalos, etc. y en el descubrimiento de reglas generales, derivadas de la estructura del mismo.

Las actividades de cálculo superarán la concepción mecanicista, que las reduce a ejercicios de conteo. Se procurará que el alumno se aproxime a una organización sistemática de las cantidades, que implica el establecimiento de determinadas relaciones entre ellas: de orden, de inclusión. etc. Se entenderá el cálculo como el descubrimiento de esas relaciones y su expresión de manera aproximada o exacta, valorando los márgenes admisibles de error que pueden permitirse en un contexto concreto.

La multiplicación como adición repetida de términos iguales, basada en experiencias próximas de adición y sustracción. Y la división como reparto equitativo, deberán abordarse mediada la etapa.

El paso de las relaciones aditivas a las multiplicativas aconseja una atenta y cuidadosa secuenciación, ya que los alumnos han de considerar, coordinar y operar simultáneamente con elementos pertenecientes a diferentes órdenes o categorías. Así mismo, se trabajarán las compensaciones que se establecen entre los elementes de las operaciones y el descubrimiento de la reversibilidad del proceso, que las convierte en inversas.

El análisis de la estructura de las operaciones y la aproximación a las leyes que las determinan, acompañará, desde el principio, el aprendizaje de estas nociones. Al final de la etapa debe procurarse una cierta sistematización y generalización de estas propiedades, propiciando el paso desde los niveles manipulativos y concretos a la construcción de esquemas explicativos simples.

Conocimiento y utilización de los algoritmos para efectuar las cuatro operaciones con números naturales.

Se potenciará la utilización de estrategias variadas para resolver operaciones numéricas, utilizando, al principio, algoritmos informales para el cómputo mental o gráfico de las cuatro operaciones

El aprendizaje de los algoritmos conllevará, siempre respetando el nivel de desarrollo de los alumnos y sus conocimientos aritméticos, la comprensión de los razonamientos subyacentes. Se cuidará especialmente la adecuada conexión entre la estructura del sistema de numeración, que los alumnos están aprendiendo, y los procedimientos utilizados en los algoritmos escritos.

El aprendizaje de las operaciones debe realizarse de forma aplicada y contextualizada, es decir, vinculado a aquellas situaciones reales que le prestan significado. Se procurará que los alumnos detecten, se interesen y valoren aquellos hechos o situaciones donde la obtención, ordenación e interpretación de datos numéricos, y las operaciones aritméticas realizadas con ellos, resulten significativas. Así mismo, se desarrollará el gusto por la presentación ordenada y clara de los datos y resultados.

Identificación, formulación, y resolución, de problemas, relacionados con las operaciones.

Tratamiento relevante merece la consideración y secuenciación de los aprendizajes relacionados con la noción de problema y su resolución. Es éste un contenido que tiene mucho de actitudinal ya que implica capacidad de los alumnos para detectar problemas, deseo y gusto por su resolución, y al propio tiempo exige un tratamiento cada vez más riguroso, sistemático y tenaz.

Para resolver problemas no sólo se necesita saber realizar operaciones sino estar capacitado para discriminar y elegir cual es la operación que conducirá al resultado que se busca. Los alumnos deben entender las operaciones de manera que su utilización se haga, para ellos, necesaria y evidente. La resolución de problemas, así entendido, además de aplicación de las operaciones, son también elementos que intervienen en su construcción.

En casos sencillos se pondrá a los alumnos en situaciones de exploración de la noción de casualidad, pretendiendo el descubrimiento del carácter aleatorio de algunas experiencias y la representaciónsencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado.

El aprendizaje de estos contenidos, puede verse favorecido o inhibido en función de las disposiciones y actitudes que los alumnos generen ante ellos. Consecuentemente, se estimulará su aprecio y valoración, la confianza en la propia capacidad para resolver cuestiones operativas y la utilidad y economía que suponen estos procedimientos en muchas de nuestras actividades diarias.