1.1.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje

Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares [Fig. 1-16], que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento sobre cada uno de los ejes así:

Figura 1-16

Donde son los cósenos directores del vector .

En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:

Figura 1-17

Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, [Fig. 1-17], se proyecta el momento sobre el eje tal que:

O en forma vectorial:

Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así:

 

[1-14]

Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura 1-18. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como:

Figura 1-18

[1-15]

De la figura se ve que y que entonces:

Como es cero, resulta que

[1-16]

Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje.

Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:

Figura 1-19

No se puede afirmar, desprevenidamente, que sea igual a , esto es; que el momento de respecto a O sea igual al momento de con respecto a P. Lo que las ecuaciones [1-15] y [1-16] indican es que la proyección de y sobre el eje OL son iguales.Para entender esto, véase la figura 1-19.

Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura 1-20. Por un punto A sobre la línea de acción de la fuerza se puede trazar un plano P perpendicular al eje OL. En general la fuerza se puede descomponer en dos fuerzas y , siendo paralela al eje y la componente perpendicular al eje contenida en el plano P. Como ya se mencionó, la componente no produce momento respecto a OL.

Entonces el momento con respecto al eje será de magnitud donde d es la distancia perpendicular entre y OL.Ahora bien, la componente se puede descomponer, en general, en una componente radial y una componente tangencial ; obviamente no produce momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la única fuerza que produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho momento es .

Figura 1-20